Zahlensysteme in der Informatik

Diese Seite dient als Ausgangspunkt für alle 3 Kompetenzniveaus (Basis, Anwender und Problemlöser).

Das binäre und das hexadezimale Zahlensystem sind in der Informatik von herausragender Bedeutung. Ein grundlegendes Verständnis für die Zahlendarstellung in diesen Stellenwertsystemen und das Lesen und Umrechnen solcher Zahlen ohne technische Hilfsmittel sind eine wichtige Grundkompetenz.

Informiere dich zuerst über das Grundprinzip der Zahlendarstellung in Stellenwertsystemen im Allgemeinen und im binären und hexadezimalen Zahlensystem im Besonderen.

Versuche dir das Zählprinzip dieser Zahlensysteme anhand der Beispielseite zur Veranschaulichung von Zahlensystemen zu verdeutlichen.

Wenn du lieber einen schnellen Einstieg per Video haben möchtest, dann schau dir die beiden unten verlinkten Videos zum Binär- und Hexadezimalsystem an.

Komplexe Rechenaufgaben, egal in welchem Zahlensystem, erledigt man in der Regel mit einem Taschenrechner oder Computer. Einfache Rechnungen sollen aber im Kopf oder mit Hilfe von handschriftlichen Notizen möglich sein.

Eine anschauliche Erläuterung zur Umrechnung einer Dezimalzahl in eine binäre Zahl und umgekehrt findest du auf dieser Seite.

Du kannst zwischen Videoerklärung und Text wählen.

Auf eine ähnliche Weise wie im oben angegebenen Video kann auch die Umrechnung ins und aus dem Hexadezimalsystem erfolgen.

Vom Hexadezimalsystem ins Dezimalsystem wird einfach die Wertigkeit jeder Stelle mit der dort stehenden Ziffer multipliziert und das Ergebnis addiert.

Vom Dezimalsystem ins Hexadezimalsystem kann man wieder mit einer Wertetabelle arbeiten. Hier ein Beispiel:

27.534 ins Hexadezimalsystem umrechnen

|  16^4  |  16^3  |  16^2  |  16^1  |  16^0  |
| 65.536 |  4.096 |   256  |   16   |    1   |
|    0   |    6   |   11   |    8   |   14   |
|    0   |    6   |    B   |    8   |    E   |
 
| 27.534 |  65.536 passt gar nicht hinein  |      unverändert        |
| 27.534 | 4.096 passt  6x hinein (24.576) | 27.534 - 24.576 = 2.958 |
|  2.958 |   256 passt 11x hinein  (2.816) |  2.958 -  2.816 =   142 |
|    142 |    16 passt  8x hinein    (128) |    142 -    128 =    14 |
|     14 |     1 passt 14x hinein      (8) |     14 -     14 =     0 |

Am einfachsten ist die umrechnung zwischen Binär- und Hexadezimalsystem, denn 2⁴ = 16¹. Eine hexadezimale Ziffer lässt sich also immer durch 4 binäre Ziffern darstellen. Somit ist ein ziffernweises Umrechnen möglich.

Dazu muss man einfach nur jeweils die Zahlen von 0 bis 15 im Kopf haben.

|  bin | hex |
| 0000 |  0  |
| 0001 |  1  |
| 0010 |  2  |
| 0011 |  3  |
| 0100 |  4  |
| 0101 |  5  |
| 0110 |  6  |
| 0111 |  7  |
| 1000 |  8  |
| 1001 |  9  |
| 1010 |  A  |
| 1011 |  B  |
| 1100 |  C  |
| 1101 |  D  |
| 1110 |  E  |
| 1111 |  F  |

Bekanntermaßen werden 8 Bit zu einem Byte zusammengefasst. Ein Byte lässt sich also durch 8 binäre Ziffern 1101 0101 oder durch 2 hexadezimale Ziffern D5 darstellen.

Ein halbes Byte, also 4 Bit oder ein hexadezimaler Buchstabe bezeichnet man auch als Halbbyte oder Nibble.

Mit diesem Hintergrundwissen lassen sich auch sehr große Zahlen zwischen den beiden Zahlensystemen umwandeln.

Hier zwei Beispiele:

1101 1110 1010 1101 1011 1110 1110 1111 ins Hexadezimalsystem

1101 1110 1010 1101 1011 1110 1110 1111
   D    E    A    D    B    E    E    F

C0 FF EE ins Binärsystem

   C    0    F    F    E    E
1100 0000 1111 1111 1110 1110   

Mache dich zuerst mit einfachen Plus-1- und Minus-1-Operationen vertraut. Wie lautet die nächstgrößere oder nächstkleinere Zahl? Achte auf den Korrekten Umgang mit Überläufen, also wenn zwischen größter und kleinster Ziffer gesprungen wird und sich auch eine benachbarte Stelle ändern muss.

Die Addition funktioniert in beiden Zahlensystemen ebenso wie im Dezimalsystem. Man schreibt beide Zahlen untereinander, beginnt bei der niederwertigsten Stelle die zusammengehörigen Stellen paarweise zu addieren und addiert eventuelle Überläufte zur nächsthöherwertigen Stelle dazu.

1010 1110 + 10 0111
 
               Schritt 1:     Schritt 2:     Schritt 3:     Schritt 4:     Schritt 5:     Schritt 6:     Schritt 7:     Schritt 8:     Schritt 9:
1. Summand       1010 1110      1010 1110      1010 1110      1010 1110      1010 1110      1010 1110      1010 1110      1010 1110      1010 1110
2. Summand     +   10 0111    +   10 0111    +   10 0111    +   10 0111    +   10 0111    +   10 0111    +   10 0111    +   10 0111    +   10 0111
               -----------    -----------    -----------    -----------    -----------    -----------    -----------    -----------    -----------
Überlauf                0             10            110           1110           1110         01 110        101 110       0101 110       0101 110 
Summe                    1             01            101           0101           0101         1 0101        01 0101       101 0101      1101 0101
 
1010 1110 + 10 0111 = 1101 0101

D648 + C69
 
              Schritt 1:    Schritt 2:    Schritt 3:    Schritt 4:
1. Summand        D648          D648          D648          D648
2. Summand      +  C69        +  C69        +  C69        +  C69
                ------        ------        ------        ------    
Überlauf            1            01           101           101
Summe                1            B1           2B1          E2B1
 
D648 + C69 = E2B1

Merke dir auch die wichtigsten „glatten“ Binär- und Hexadezimalzahlen. Orientiere dich dabei an den Absätzen Wichtige Zahlenwerte und Wichtige Zahlenwerte.

• Podcast: Zahlensysteme, Zweierpotenzen und Binärzahlen, IT-Berufe-Podcast #181
• Webseite: https://www.sofatutor.com/physik/videos/binaere-darstellung-von-zahlen-buchstaben-und-zeichen#das-binaersystem
• Video: YouTube-Video zum Binärsystem (4:35)
• Video: YouTube-Video zum Hexadezimalsystem (6:33)
• Online-Rechner mit interaktiver Erklärung: https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/Zahlensysteme.htm